Редовен polyhedra: елементи симетрия и площ

Геометрия е красива, защото за разлика алгебра, която не винаги е ясно защо и какво мислите, дава визуална обект. Този прекрасен свят на различни органи красят редовен polyhedra.

Обща информация за редовни polyhedra

Според много, редовни многостени, или както ги наричат тела на Платон, притежава уникални свойства. С тези предмети, свързани няколко научни хипотези. Когато започнете да учат геометричните данни на тялото, ти осъзнаваш, че почти нищо не знам за такова понятие като редовен polyhedra. Представянето на тези обекти в училището не винаги е интересно, така че мнозина дори не си спомням какво са т.нар. В памет на повечето хора това е просто един куб. Никой от геометрията на тялото не притежава такова съвършенство като редовни многостени. Всички имена на тези геометрични тела произхождат от древна Гърция. Те представляват броят на лицата: тетраедър - четиристранна, шестостен - Алън, октаедър - осмоъгълник, додекаедър - dodecahedral, icosahedron - двадесетопръстен. Всички те геометрична тялото заема важно място в концепцията на вселената на Платон. Четири от тях са въплътени елементи или юридически лица: тетраедър - огъня, на icosahedron - вода куб - Земята, октаедър - въздух. Додекаедър въплъщава всичко. Той се счита за основна, като символ на Вселената.

Обобщаването на концепцията за полихедронов

Polyhedron са ограничен набор от полигони, така че:

• всяка от страните на всеки от полигони е в същото време само от едната страна на друг многоъгълник от същата страна;
• от всяка от полигоните можете да се разхождате до другия като преминават близо до него, полигони.

Полигони, представляващи полиедъра представляват своите лица и техните странични - ребра. polyhedra върхове са върховете на многоъгълника. Ако терминът полигона разбере плоски затворени полилинии, а след това дойде един дефиниция на полихедронов. В случая, когато от този термин се разбира част от равнина, която е ограничена от начупени линии, ще се разбира повърхност, състояща се от многоъгълни парчета. Изпъкнал Стол се нарича тялото лежи на едната страна на равнината, в непосредствена близост до лицата си.

Друга дефиниция на полихедронов и неговите елементи

Polyhedron наречен повърхност, състояща се от полигони, което ограничава геометрична тялото. Те са следните:

• не-изпъкнали;
• изпъкнал (правилно и грешно).

Редовна многостен - е изпъкнал Стол с максимална симетрия. Елементи на редовен polyhedra:

• Tetrahedron: 6 ребра 4 повърхнини 5 върховете;
• шестостен (куб) 12, 6, 8;
• додекаедър 30, 12, 20;
• октаедър 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Теорема на Ойлер

Това създава връзка между броя на ръбове, върхове и лица са топологично еквивалентно на сфера. Добавянето на броя на върховете и лица (B + D) имат различна редовен polyhedra и сравняването им с броя на ребрата, е възможно да се създаде едно правило: сумата от броя на лицата, равни на броя на върховете и ръбовете (Р) се увеличава с 2. Възможно е да се получи една проста формула:

• B + D = P + 2.

Тази формула е валидна за всички изпъкнал polyhedra.

основни дефиниции

Концепцията за редовна полихедронов е невъзможно да се опише с едно изречение. Тя е по-ценен и обем. А тялото да бъдат признати като такива, е необходимо той да отговаря на редица определения. По този начин, геометрична тяло ще бъде редовен полихедронов, когато са изпълнени следните условия:

• е изпъкнала;
• същия брой ребра клони на всеки един от своите върхове;
• всички аспекти на неговите - редовни полигони, равни помежду си;
• Всички двустенни ъгли са равни.

Свойства на редовен polyhedra

Има 5 различни вида редовен polyhedra:

1. Cube (шестогранници) - има плосък ъгълът е 90 °. Той има три двустранен ъгъл. Сума лицето ъгли на върха на 270 °.
2. Tetrahedron - плосък връх ъгъл от - 60 °. Той има три двустранен ъгъл. Сума лице ъгли на върха - 180 °.
3. Октаедър - плосък връх ъгъл от - 60 °. Той има четиристранна ъгъл. Сума лице ъгли на върха - 240 °.
4. Додекаедър - плосък връх ъгъл от 108 °. Той има три двустранен ъгъл. Сума лицето ъгли при върха - 324 °.
5. Icosahedron - има плосък връх ъгъл от - 60 °. Той има пет двустранен ъгъл. Сума лицето ъгли на върха на 300 °.

Площта на редовен polyhedra

Повърхностната площ на геометричните структури (S) се изчислява като правилен многоъгълник площ, умножена по броя на аспекта (G):

• S = (А: 2) х 2G CTG π / стр.

Обемът на регулярна полихедронов

Тази стойност се изчислява чрез умножаване на обема на редовен пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, броят на лицата, а височината му е вписан радиуса на сферата (с):

• V = 1: 3RS.

Обемите на редовен polyhedra

Подобно на всички други геометрични твърди, редовни polyhedra имат различни обеми. По-долу са формули, чрез които те могат да изчислят:

• Tetrahedron: α х 3√2: 12;
• октаедър: α х 3√2: 3;
• icosahedron; α х 3;
• шестостен (куб): алфа х 5 х 3 х (3 + √5): 12;
• додекаедър: α х 3 (15 + 7√5): 4.

Елементи на редовен polyhedra

Шестостен и осмостенник са двойни геометрични тела. С други думи, те могат да се измъкнем от един на друг в случай, че центърът на тежестта на един се приема като в началото на другата и обратно. Също така са двойно icosahedron и додекаедър. Самият само тетраедър е двойна. Според метода на Евклид може да бъде получена от додекаедър шестостен, чрез изграждане на "покриви" на лицата на куба. Върховете на тетраедъра някакви 4 върховете на куба, не съседни двойки по ръба. От шестостен (куб) може да се получи, както и други редовни polyhedra. Въпреки факта, че редовни полигони там са безброй, редовни polyhedra, има само 5 са.

Радиусите на правилен многоъгълник

С всяка от тези геометрични тела са свързани концентрични сфери 3:

• описан минаваща през върховете;
• вписан по отношение на всеки от неговите страни в средата на него;
• средната за всичките краища в средата.

Радиусът на сферата е описано със следната формула, се изчислява:

• R = A: 2 х TG π / г х TG θ: 2.

Радиусът на вписан сфера се изчислява както следва:

• R = A: 2 х CTG π / р х TG θ: 2,

където θ - двустенен ъгъл, който е между съседни аспекти.

Медианата на радиуса на сферата може да се изчисли по следната формула:

• ρ = A защото пи / р: 2 грях π / ч,

където Н = величината на 4.6, 6.10, или 10. Съотношението на радиусите на вписан описани и симетрично по отношение на р и р. Тя се изчислява, както следва:

• R / R = TG π / р х TG π / Q.

Симетрията на polyhedra

Симетрията на редовната polyhedra е от първостепенен интерес към тези геометрични тела. Разбираемо е, като движение на тялото в пространството, което остава същия брой на върховете, повърхности и ръбове. С други думи, под влиянието на симетрия трансформации ръб, връх, или лицето запазва първоначалната си позиция, или се премества в началната позиция на друго ребро, другите върхове или лица.

Елементи на симетрия на редовната polyhedra са общи за всички видове геометрични твърди частици. Тук се провежда въз трансформацията на идентичността, която напуска някоя от точките в първоначалното положение. Така че, когато включите многоъгълна призма може да получи някои симетрии. Всеки от тях може да се представи като произведение на размисъл. Симетрия, който е продукт на четен брой отражения, наречена директно. Ако тя е продукт на нечетен брой отражения, а след това той се нарича обратна връзка. По този начин, всички се обръща линията представляват направо симетрия. Всяко отражение многостен - е обратен симетрия.

За да се разбере по-добре на симетрия елементи на редовен polyhedra, можете да вземете примера на тетраедър. Всяка линия, която преминава през един от върховете и центъра на геометрична форма, ще се проведе и през центъра на ръб обратното към него. Всяка от навивки 120 и 240 ° около линията принадлежи към множествено число четиристенен симетрия. Тъй като 4 върхове и лица, получаваме общо осем преки симетрии. Всеки от линии, минаващи през центъра на ръбовете и центъра на тялото, тя преминава през центъра на противоположния край. Всяко завъртане на 180 °, наречен половина завой около права симетрия. Тъй като тетраедър има три чифта ребра, можете да получите три линии на симетрия. Въз основа на горното, можем да заключим, че общият брой на директен симетрия, включително трансформация на идентичност, ще бъде до дванадесет. Друг пряк симетрия тетраедър не съществува, но той има 12 обратна симетрия. Следователно, само 24 характеризиращ Tetrahedron симетрии. За по-голяма яснота, ние можем да изградим модел на регулярна тетраедър от картон и се уверете, че тя е геометричната тялото наистина има само 24 симетрия.

Додекаедър и icosahedron - най-близо до зоната на тялото. Icosahedron има най-голям брой лица, на двустенен ъгъл и най-вече да плътно придържат към вписан сфера. Додекаедър има най-ниската ъглово дефект големина пространствен ъгъл при върха. Това може да увеличи максимално да попълните в сферата на окръжност.

сканиране polyhedra

Редовен polyhedra сканиране, което всички ние заедно остана в детството си, има много понятия. Ако има набор от полигони, всяка страна на която се идентифицира само с едната страна на многостен, идентификацията на страните трябва да отговаря на две условия:

• на всеки полигон, можете да отидете на полигон като идентифицирането на страната;
• разпознаваеми страна трябва да имат една и съща дължина.

Това е набор от полигони, които отговарят на тези условия, и се нарича полихедронов сканиране. Всеки един от тези органи има няколко от тях. Например, един куб от които има 11 парчета.