Теория на вероятността. Вероятност за събитието, произволни събития (теория на вероятностите). Независими и несъвместими събития в теорията на вероятностите

Малко вероятно е, че много хора мислят, че е възможно да се разчита събития, които до известна степен случайно. Казано с прости думи, е реалистично да се знае от коя страна на куба в заровете ще падне следващия път. Това е този въпрос да попитам две велики учени, поставил основите на тази наука, теорията на вероятностите, вероятността за събитието, в която недостатъчно проучен обстойно.

поколение

Ако се опитате да се определи такова понятие като теорията на вероятностите, получаваме следното: това е един от клоновете на математиката, че проучванията на постоянството на случайни събития. Ясно е, че тази концепция наистина не разкрива същността, така че трябва да го разгледа по-подробно.

Бих искал да започна с основателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше две, които Per Ferma и Blez Паскал. Те бяха първите опита с помощта на формули и математически изчисления за изчисляване на резултатите от дадено събитие. Като цяло, наченки на тази наука е още в Средновековието. Докато различни учени и мислители са се опитвали да анализират казино игри като рулетка, зарове, и така нататък, като по този начин да се създаде модел, както и загубата в проценти на число. Фондацията също е положен през седемнадесети век, че е гореспоменатите учени.

Първоначално работата им не може да се обясни най-големите постижения в тази област, в крайна сметка, това, което направиха, те са просто емпирични факти и експерименти бяха ясно, без да използвате формули. С течение на времето, той се обърна към постигане на отлични резултати, които се появяват в резултат на наблюдение на актьорския състав на костите. Той е този инструмент е помогнал да донесе първата отделна формула.

поддръжниците

Да не говорим за човек като Кристиан Хюйгенс, в процеса на изучаване на предмет, който носи името на "Теория на вероятностите" (вероятност на събитието в него се подчертава в тази наука). Този човек е много интересно. Той, както и учени, представени по-горе, са се опитали под формата на математически формули, за да се заключи, един модел на случайни събития. Прави впечатление, че той не го споделя с Паскал и Ферма, това е цялата му работа не се припокрива с тези умове. Хюйгенс получен основните понятия на теория на вероятностите.

Интересен факт е, че работата му дойде много преди резултатите от делата на пионерите, за да бъдем точни, двадесет години по-рано. Има само един от понятия, определени са:

• като понятието за вероятност стойности възможност;
• очакване за отделен случай;
• теореми на събиране и умножение на вероятности.

Също така, човек не може да забрави Yakoba Bernulli, които също са допринесли за проучването на проблема. Чрез собствената си, нито от които са независими тестове, той е в състояние да предостави доказателство на закона за големите числа. От друга страна, учените Поасон и Лаплас, който е работил в началото на деветнадесети век, са били в състояние да докаже теоремата на оригиналния. От този момент да анализира грешките в наблюденията започнахме да използваме теорията на вероятностите. Парти около тази наука не може да и руски учени, а Марков, Chebyshev и Dyapunov. Те се основават на извършената работа гениите, охраняем обект като клон на математиката. Работихме тези цифри в края на деветнадесети век, и благодарение на приноса им, които са доказали явления, като например:

• закон за големите числа;
• Теория на Марковски вериги;
• лимит теорема Централният.

Така че, историята на раждането на науката и с най-големите личности, които са допринесли за това, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да се изпълни със всички факти.

основни понятия

Преди да докосне законите и теореми трябва да се научат основните понятия на теорията на вероятностите. Събитие, което заема доминираща роля. Тази тема е доста обширна, но няма да бъде в състояние да разберат всички останали без него.

Събитията в теорията на вероятностите - това Всеки набор от резултати от експеримента. Понятия за това явление няма достатъчно. По този начин, Лотман учен, работещ в тази област, е изразил, че в този случай става дума за това, което "се е случило, въпреки че не може да се случи."

Случайни събития (теорията на вероятностите се обръща специално внимание на тях) - това е понятие, което включва абсолютно всяко явление да има възможността да се случи. Или, напротив, този сценарий не може да се случи при изпълнение на различни условия. Важно е да се знае, че заема целия обем на явленията, настъпили само случайни събития. Вероятност теория предполага, че всички условия, могат да се повтарят постоянно. Това е тяхното поведение се нарича "опит" или "тест".

Значително събитие - това е явление, което е сто процента в този тест се случи. Съответно, невъзможно събитие - това е нещо, което не се случва.

Комбинирането двойки действие (конвенционално случай А и В случай) е явление, което се проявява едновременно. Те са посочени като AB.

Количеството на двойки събития А и В - С е, с други думи, ако поне един от тях ще (А или В), получавате С формула описано явление се изписва като С = А + Б.

Несъвместими развитието на теорията на вероятностите предполага, че двата случая са взаимно изключващи се. В същото време те са в никакъв случай не може да се случи. Съвместни прояви в теорията на вероятностите - това е тяхната противоположност. Изводът е, че ако А е случило, той не изключва C.

Противопоставяне на събитието (теорията на вероятностите ги смята в големи подробности), са лесни за разбиране. Най-добре е да се справят с тях в сравнение. Те са почти същите като несъвместими развития в теорията на вероятностите. Въпреки това, тяхната разлика е, че трябва да настъпи едно от множество явления във всеки случай.

Също така е вероятно събития - тези действия, възможността за повторение е равна. За да стане ясно, можете да си представите хвърляне на монета: загуба на една от страните му е също толкова вероятна загуба на друг.

е по-лесно да се разгледа пример за облагодетелстване на събитието. Да предположим, че един епизод в епизод А. Първият - хвърляне на зар с появата на нечетно число, а втората - на външния вид на номер пет на заровете. След това се оказва, че А е облагодетелствана V.

Независими събития в теорията на вероятностите се прожектират само на два или повече пъти и включват независими от всякакви действия, от друга страна. Така например, A - при загуба опашки монета хвърлят и Б - dostavanie жак от палубата. Те имат независими събития в теорията на вероятностите. От този момент стана ясно.

Зависимите събития в теорията на вероятностите е също допустими само за тяхната съвкупност. Те предполагат зависимостта на една от друга, което означава, че това явление може да се появи в само в случай, когато вече се е случвало А или, напротив, не се случи, когато тя е - главното условие за Б.

Резултатът от случаен експеримент, състоящ се от един единствен компонент - това е елементарни събития. Теория на вероятностите казва, че тя е явление, което се прави само веднъж.

основна формула

По този начин, по-горе се считат за понятието "събитие", "Теория на вероятностите", определения на основните термини от тази наука също е било дадено. Сега е време да се запознаят с важни формули. Тези изрази са математически потвърдени всички основни понятия в такава трудна тема, тъй като теорията на вероятностите. Вероятност на събитие и играе огромна роля.

По-добре да се започне с основните формули на комбинаторика. И преди да ги пуснете, струва си да се има предвид какво е то.

Комбинаторика - е преди всичко клон на математиката, той е изучаване на огромен брой цели числа, както и различни пермутации на двете числа и техните елементи, различни данни и т.н., което води до редица комбинации ... В допълнение към теорията на вероятностите, тази индустрия е важен за статистика, информатика и криптография на.

Така че сега можете да преминете към представянето на себе си и своите дефиниции формули.

Първият от тях е израз за броя на пермутации, е, както следва:

P_n = п ⋅ (п - 1) ⋅ (п - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = п!

Уравнение се прилага само в случай, ако елементите се различават единствено по реда на подреждане.

Сега формула разположение, тя изглежда като това ще се счита:

A_n ^ т = п ⋅ (п - 1) ⋅ (п-2) ⋅ ... ⋅ (п - т + 1) = N! : (М - т)!

Този израз се прилага не само към единственият елемент на подаване на поръчката, но и на неговия състав.

Третото уравнение на комбинаторика и е последният, наречена формула за броя на комбинации:

C_n ^ т = п! : ((N - т))! : M!

Комбинация нарича семплиране, което няма да се разпорежда, съответно, да и се прилага това правило.

С формулите на комбинаторика дойдоха да се разбере лесно, сега можете да отидете на класическото определение за вероятност. Тя изглежда като този израз, както следва:

P (A) = М: п.

В тази формула, м - е броят на благоприятни условия за събитие А, и п - броят на еднакво и напълно всички елементарни събития.

Има много изрази в статията няма да бъдат разглеждани всичко друго, но засегнати ще бъдат най-важните от тях, като, например, вероятността на събитията в размер:

Р (А + В) = Р (А) + (Р) - това теоремата за добавяне само взаимно изключващи събития;

Р (А + В) = Р (А) + (Р) - Р (АВ) - но това е само за добавяне на съвместим.

Вероятността за произведенията на събитието:

P (A ⋅ B) = Р (А) ⋅ (Р) - това теоремата за независими събития;

(Р (А ⋅ B) = Р (А) ⋅ P (B | А); P (A ⋅ B) = Р (А) ⋅ P (A | B)) - и това за зависими.

Приключила списък на събитията формула. Теорията на вероятностите ни казва теорема Бейс, който изглежда така:

Р (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (к = 1) ^ п Р (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., п

В тази формула, Н _{1, Н2,} ..., Н _N - е пълен набор от хипотези.

На този спирка, заявление проби формули сега ще се считат за специфични задачи от практиката.

примери

Ако внимателно изучава всеки клон на математиката, не е без упражнения и примерни решения. И теорията на вероятностите: събития, примери тук са неразделна част от потвърждаващ научни изчисления.

Формулата за броя на пермутации

Така например, през палубата на карти имат тридесет карти, като се започне с номинал. Следващ въпрос. Колко начина да се сгъват на палубата, така че картите с номинална стойност на една и две не са били разположени по-нататък?

Задачата е зададена, сега нека да преминем към справят с него. Първо трябва да се определи броя на пермутации на тридесет елементи, за тази цел, които предприемаме, горната формула, се оказва P_30 = 30!.

Въз основа на това правило, ние знаем колко опции са там, за да се установят на палубата по много начини, но ние трябва да се приспадне от тях са тези, при които първата и втората карта ще бъде следващата. За да направите това, започнете с вариант, когато първият се намира на втория. Оказва се, че първата карта може да отнеме двадесет и девет места - от първия до двадесет и девети, а втората карта от втори до тридесетте, се превръща двадесет и девет места за двойки от карти. От друга страна, останалите могат да се двадесет и осем места, както и в произволен ред. Това означава, че за пренареждане на двадесет и осемте карти са двадесет и осем опции P_28 = 28!

Резултатът е, че ако вземем предвид решението, когато първата карта е на втория допълнително възможност да получите 29 ⋅ 28! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да се изчисли броят на съкратените варианти за случая, когато първата карта се намира под втория. Също така получава 29 ⋅ 28! = 29!

От това следва, че допълнителните опции 2 ⋅ 29!, А необходимите средства за събиране на палубата 30! - 2 ⋅ 29!. Остава само да се изчисли.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега ние трябва да умножите заедно всички номера 1-29, а след това в края на всичко, умножена по 28. Отговорът, получен 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Примери за разтвори. Формулата за броя на настаняване

По този проблем, трябва да разберете колко има начини да се поставят петнадесет обемите на рафт, но при условие, че само тридесет тома.

В тази задача, решението малко по-лесно в сравнение с предишните. Използването на вече известни формулата, е необходимо да се изчисли общият брой на тридесет места петнадесет тома.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Отговор, съответно, ще бъде равна на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега вземете задачата малко по-трудно. Трябва да се знае колко има ли начини, за да подредите тридесет и две книги по рафтовете на магазините, с уговорката, че само петнадесет обеми могат да се намират на същата рафта.

Преди началото на решението би искал да уточня, че някои от проблемите могат да бъдат решени по няколко начина и в този има два начина, но в се прилага една, така и за същата формула.

В тази задача, можете да вземете отговорът от предишния, защото там ние изчислихме колко пъти можете да попълните на рафта в продължение на петнадесет книги в различни начини. Оказа A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ ⋅ ... (30-15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ ⋅ ... 16.

Вторият полка изчислява чрез формула преразпредели, защото тя се поставя петнадесет книги, докато останалата част от петнадесет. Ние използваме формула P_15 = 15!.

Оказва се, че сумата ще A_30 ^ 15 ⋅ P_15 начини, но в допълнение, продуктът на всички числа от 30-16 ще бъдат умножени по произведението на числата 1-15, в крайна сметка да се окаже, продукт на всички числа от 1-30, че е отговорът е 30!

Но този проблем може да бъде решен по различен начин - по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт в продължение на тридесет книги. Всички от тях са поставени на тази плоскост, но тъй като състоянието изисква, че има два рафта, по един дълъг ние рязане на половина, две обръщания петнадесет. От това се оказва, че за този режим може да бъде P_30 = 30!.

Примери за разтвори. Формулата за броя на комбинациите от

Кой се смята за вариант на третия проблем на комбинаторика. Трябва да знаете, колко много начини има да се организира петнадесет книги, посветени на условието, че трябва да избират измежду тридесет точно същото.

За решението ще, разбира се, се прилага формулата за броя на комбинациите. От условието, че става ясно, че по реда на същите петнадесет книги не е важно. Така че първоначално трябва да разберете от общия брой на комбинации от тридесет петнадесет книги.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Това е всичко. С помощта на тази формула, в най-кратки срокове, за да се реши този проблем, отговорът, съответно, равна на 155 117 520.

Примери за разтвори. Класическата дефиниция на вероятностите

Използва формулата дадена по-горе, може да се намери отговор на проста задача. Но това ясно ще се види и да следва курс на действие.

Задачата има предвид, че в урна има десет напълно идентични топки. От тях четири жълти и шест синьо. Взети от урна една топка. Необходимо е да се знае вероятността dostavaniya синьо.

За решаване на проблема е необходимо да се определи dostavanie синя топка събитие А. Този опит може да има десет резултати, които, от своя страна, начално и също толкова вероятно. В същото време, шест от десетте са благоприятни за събитие А. решаване на следната формула:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Прилагането на тази формула, ние научихме, че възможността dostavaniya синята топка е 0.6.

Примери за разтвори. Вероятността от събития количество

Кой ще бъде вариант, който се решава чрез използване на формулата на вероятността от събития количество. Така че, като се има предвид условието, че има два случая, първото е сиво и пет бели топки, а вторият - осем сиви и четири бели топки. В резултат на това на първото и второто поле са взели по една от тях. Необходимо е да се разбере какви са шансовете, че липсва топките са сиви и бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се идентифицират на събитието.

• По този начин, A - имаме сива топка от първата кутия: P (A) = 1/6.
• А "- бял крушка също взети от първата клетка: P (А ') = 5/6.
• Най - вече екстрахира сиво топката на втория тръбопровод: P (B) = 2/3.
• B '- се сива топка на втория чекмеджето: P (В') = 1/3.

Според проблема е необходимо, че един от феномените случило: AB "или" Б. Като се използва формулата, ние получаваме: Р (аЬ ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Сега се използва формулата на умножаване на вероятността. На следващо място, за да разберете отговора, ще трябва да прилагат своите уравнение добавяне:

Р = Р (аЬ '+ A'B) = Р (аЬ') + P (A'B) = 11/18.

Ето как, с помощта на формулата, можете да решите тези проблеми.

резултат

Документът беше представен на информацията за "Теория на вероятностите", вероятността от събития, които играят важна роля. Разбира се, не всичко е считана, но въз основа на текста, представен, теоретично може да се запознае с този клон на математиката. Смятан науката може да бъде полезно не само в професионален бизнес, но също така и във всекидневния живот. Можете да го използвате, за да се изчисли всякаква възможност за дадено събитие.

Текстът също е бил засегнат от значителни дати в историята на развитието на теорията на вероятностите като наука, както и имената на хората, чиито творби са поставени в нея. Ето как човешкото любопитство е довело до факта, че хората са се научили да броят, дори и случайни събития. След като те са само се интересуват от това, но днес вече е известно на всички. И никой не може да каже какво ще стане с нас в бъдеще, какви други брилянтни открития, свързани с теорията под внимание, ще бъде извършено. Но едно нещо е сигурно - изследването все още не си струва!