Ирационални числа: какво е и какво се използват?

Какво е ирационално число? Защо се наричат? Когато те се използват и какво представлява? Малцина могат да без колебание да се отговори на тези въпроси. Но в действителност, отговорите са доста прости, макар че не всички са необходими и в много редки случаи,

Същността и обозначението

Ирационални числа са безкрайни непериодични знака след десетичната запетая. Необходимостта да се въведе тази концепция се дължи на факта, че за да се отговори на новите предизвикателства, възникващи е недостатъчно предварително съществуващите концепции за реални или реални, цели, естествени и рационални числа. Например, за да се изчисли квадрат стойност е 2, е необходимо да се използва не-периодична безкраен десетична дроб. В допълнение, много прости уравнения имат също не е решение, без въвеждането на концепцията за ирационални числа.

Този комплект е обозначена като I. И тъй като вече е ясно, че тези стойности не могат да бъдат представени като една проста дроб, в числителя на която е цялото, а в знаменателя - естествено число.

За първи път един или друг начин с това явление се сблъскват индийски математици в VII век преди новата ера, когато е установено, че квадратните корени на определени количества не могат да бъдат ясно идентифицирани. Първият доказателство за съществуването на такива номера се кредитира Питагоровата Hippasus, който я е направил в изследването на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Сериозен принос в изучаването на този набор са довели дори някои учени, които са живели преди Христа. Въвеждането на понятието ирационални числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, която е защо те са толкова важни.

Произход на името

Ако съотношението на латински - е "удар", "нагласа", префикс "IR"
прикрепен към дума точно обратното. По този начин, на името на набор от тези номера показва, че те не могат да се корелира с цяло число или фракционна, има място. Това следва от тяхното естество.

Място в генералното класиране

Ирационални числа, заедно с рационалното се отнася до група от реален или виртуален, което от своя страна принадлежат към комплекса. Подмножества, обаче, не се прави разграничение между алгебрични и трансценденталната вид, които ще бъдат обсъдени по-долу.

свойства

Защото ирационалните числа - това е част от набор от реални, а след това се прилагат към тях всичките им свойства, които се изучават в аритметична (наричани още основни закони алгебрични).

А + В = б + а (commutativity);

(А + В) + с = а + (б + в) (асоциативност);

а + 0 = а;

а + (-а) = 0 (наличието на добавка обратен);

AB = ба (комутативен право);

(АЬ) С = а (бв) (Distributivity);

а (б + в) = AB + AC (разпределителни право);

брадва 1 = а

брадва 1 / а = 1 (обратен броя на съществуване);

Сравнение също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:

Ако> б и б> С, след това> С (съотношение преходност) и. т. г.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат превърнати с помощта на основните аритметични операции. Някакви специални правила в това.

В допълнение, на ирационалните числа, обхванати от аксиомата Архимед. В него се посочва, че за всеки две стойности на А и Б е вярно, че при приемането на мандат като достатъчен брой пъти, възможно е да победи б.

използването на

Въпреки факта, че в реалния живот не често трябва да се справят с тях, ирационални числа не дават сметка. Те са една голяма част, но те са практически невидими. Ние сме заобиколени от ирационалните числа. Примери, познати на всички, - броя пи, равни 3.1415926 ... или д, е по същество основа на естествените логаритми, 2.718281828 ... В алгебра, тригонометрия и геометрията трябва да ги използват непрекъснато. Между другото, най-известните стойността на "златното сечение", т.е. съотношението на колко от високо към ниско и обратно, както и Отнася се за този набор. По-малко известни "сребро" - също.

На номер линия, те са много близки, така че между всеки две величини, обхванати от набор от рационално, ирационално е задължително да се случи.

До сега, има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има критерии, като например ирационалността на мярката и нормалността на номера. Математиците продължават да изследват най-значимите примери за тяхната принадлежност към една или друга група. Така например, се приема, че е - нормалния брой, т.е., вероятността от възникване на запис си на различни цифри са същите ... Що се отнася до пи, а след това му относително дълъг процес на разследване. Мярка ирационалност наричан стойност, показва колко добре определен брой може да се изчисли приблизително чрез рационални числа.

Алгебрична и трансценденталната

Както вече споменахме, ирационални числа условно разделени на алгебрични и трансценденталната. Обикновено, тъй като, строго погледнато, класификацията се използва за разделяне на множеството В.

Под това наименование се крие комплексни числа, които включват действителните или реален.

Така алгебрични нарича стойност, която е в основата на полинома, не е идентично нула. Например, корен квадратен от 2 ще попадат в тази категория, защото е разтвор на уравнението х ² - 2 = 0.

Всички други реални числа, които не отговарят на това условие се наричат трансценденталната. Този вид и са най-добре известни и вече споменатите примери - пи брой и естествен логаритъм основа напр.

Интересното е, че нито едното, нито втората първоначално са били отглеждани от математици като такива, тяхната ирационалност и трансцендентност е доказано през много години след тяхното откритие. За пи доказателство беше предоставена през 1882 г. и опростена през 1894 г., което сложи край на дебата за проблема с квадратура на кръга, което е продължило в продължение на 2500 години. Той все още не е напълно изяснен, така че съвременните математици имат работа за вършене. Между другото, първият достатъчно точна изчисляване на тази стойност трябваше Архимед. Преди него всички изчисления са твърде приблизителни.

За д (номер на Ойлер, или Нейпиър), доказателство за неговата трансцендентност е намерено през 1873 година. Той се използва при решаване на логаритмични уравнения.

Сред други примери - задължително стойности, косинус и допирателната за всички ненулеви алгебрични стойности.