Гаус: примери за решения и специални случаи

метод на Гаус, наричан още метод за поетапно премахване на неизвестните променливи, на името на известния учен немски KF Гаус, докато все още жив получил неофициално титлата "цар на математиката." Въпреки това, този метод е бил известен много преди раждането на европейската цивилизация, дори и в I век. Преди новата ера. д. Древните китайски учени са го използвали в своите писания.

Гаус е класически начин за решаване на системи линейни алгебрични уравнения (Slough). Той е идеален за бързо решение за ограничени размери матрици.

Самият метод се състои от две движения: движение напред и назад. Директен Разбира се нарича последователността, показана SLAE триъгълна форма, т.е. нулева стойност под главната диагонала. Оттегляне включва последователно намирането на променливи, изразявайки всяка променлива през предходното.

Научете се да се прилага на практика, Гаус е просто достатъчно, за да се знаят основните правила на умножение, събиране и изваждане на числа.

За да се демонстрира алгоритъм за решаване на линейни системи от този метод, ние обясни един пример.

Така че, да бъде решен с помощта на Гаус:

х + 2y + 4Z = 3
2x + 6Y + 11 Z = 6
4x-2y-2Z = -6

Имаме нужда от втора и трета линия, за да се отървете от променливата х. Към това можем да го добавите първата, умножена по -2 и -4, съответно. получаваме:

х + 2y + 4Z = 3
2y + 3Z = 0
-10y-18z = -18

Сега втория ред се умножава по 5 и да го добавите към третият:

х + 2y + 4Z = 3
2y + 3Z = 0
-3z = -18

Докарахме нашата система за триъгълна форма. Сега ние извърши обратната. Започваме с последния ред:
-3z = -18,
Z = 6.

Вторият ред:
2y + 3Z = 0
2y + 18 = 0
2у = -18,
у = -9

Първият ред:
х + 2y + 4Z = 3
х-18 + 24 = 3
х = 18-24 + 3
х = -3

Заместването на стойностите на променливите в първоначалните данни, ние се провери правилността на решението.

Този пример може да бъде решен много други замени, но отговорът е трябвало да бъде един и същ.

Стана така, че водещите елементи на първия ред са подредени с твърде малки стойности. Това не е страшно, а по-скоро усложнява изчисленията. Решението е да се Гаус с завъртане на колона. Същността му е, както следва: на първа линия на максимума търси модул елемент, колоната, в която се намира, разменят местата с първия стълб, който е нашият максимален елемент става първият елемент от главния диагонал. След това е стандартен процес на изчисляване. Ако е необходимо, процедурата се променя колоните на някои места може да се повтори.

Друг вариант на метода е метода на Гаус Гаус-Джордан.

Той се използва за решаване на линейни системи квадрат, когато обратната матрица на матрица и ранг (броя ненулеви линии).

Същността на този метод е, че оригиналната система се трансформира чрез промени в единичната матрица, с още намиране променливи.

Алгоритъмът е, че той:

1. Системата от уравнения е, както е в метода на Гаус, триъгълна форма.

2. Всеки ред е разделен на определен брой по такъв начин, че устройството е включено по главния диагонал.

3. Последният ред се умножава по определен брой и изважда от предпоследния, така че да не се получи по главния диагонал 0.

4. Етап 3 се повтаря последователно за всички редове, докато накрая не образуват единична матрица.