Геометрична прогресия и неговите свойства

Геометрична прогресия е важно в областта на математиката като наука, и приложни значение, тъй като тя има изключително широк обхват, дори и в най- висша математика, например, в теорията на серия. Първите сведения за напредъка дойде при нас от древен Египет, особено под формата на добре познат проблем на папируса Ринд седем лица със седем котки. Вариации на тази задача се повтарят много пъти по различно време от други народи. Дори и най-Великий Леонардо Pizansky, известен като Фибоначи (XIII в.), Говорих с нея в своята "Книга на Abacus."

Така че геометричната прогресия има древна история. Той представлява цифрова последователност с ненулева първи член, и всяка следваща, започвайки с втората се определя чрез умножаване на предишния повторение формула при постоянна, ненулева номер, който се нарича знаменател прогресия (обикновено означен като се използва писмо Q).
Очевидно е, че може да се намери чрез разделяне на всеки следващ период от последователността на предишната, т.е. Z 2: Z 1 = ... = Zn: Z п-1 = .... Следователно, по-голямата прогресия работа (Zn) достатъчно знае стойността на първия срок на знаменател и Y 1 р.

Например нека Z 1 = 7, Q = 4 - (р <0), тогава след геометрична прогресия се получава 7 - 28 112-448, .... Както можете да видите, получената последователност не е монотонно.

Припомнете си, че в произволна последователност на монотонен (увеличаване / намаляване) когато един от членовете следват повече / по-малко от предишната. Например, последователност, 2, 5, 9, ..., и -10, -100, -1000, ... - Еднотонно, втората - намаляваща геометрична прогресия.

В случая, когато р = 1, всички членове се установи, че и той се нарича непрекъснатото.

Последователността беше прогресирането на този тип, той трябва да отговаря на следното необходимо и достатъчно условие, а именно: от втората, всеки от членовете трябва да бъде средната геометрична стойност на съседни членове.

Този имот дава възможност при определени два съседни констатация произволна термин прогресия.

п-ти Терминът експоненциално лесно открити по формулата: Zn = Z 1 * р ^ (п-1), Z знае първи елемент 1 и Q знаменател.

Тъй като последователност номер има сума, след това няколко прости изчисления ни дават формула за изчисляване на сумата на първия прогресията на членове, а именно:

S п = - (Zn * р - Z 1) / (1 - р).

Смяна, във формулата израз стойност Zn Z 1 * р ^ (п-1), за да се получи втора сума формула на прогресия на: S = N - Z1 * (р ^ п - 1) / (1 - Q).

Е достоен за внимание следния интересен факт: таблет глина намерени при разкопките на древния Вавилон, който се отнася до VI. BC, съдържа забележителен начин сумата от 1 + 2 + ... + все още не е намерена 22 + 29, равна на 2 до десетата енергия минус 1. Обяснението на този феномен.

Отбелязваме, едно от свойствата на геометрична прогресия - постоянна работа от членовете, разположени на равни разстояния от краищата на последователността.

От особено значение от научна гледна точка, такова нещо като безкрайна геометрична прогресия и изчисляване на размера му. Ако приемем, че (ин) - геометрична прогресия като знаменател р, отговаря на условието | р | <1, неговата стойност ще бъде отнесен до границата, към която ние вече знаем сумата от първите си членове, с неограничено увеличаване на п, а след това го направете приближава безкрайност.

Намерете тази сума като резултат от помощта на формулата:

S п = Y 1 / (1-р).

И, тъй като опитът е показал, за очевидната простота на тази прогресия е скрит огромен потенциал приложение. Например, ако се конструира последователност на квадрати съгласно следния алгоритъм, свързващ средите на предишния, тогава те формират квадратен безкраен геометрична прогресия като знаменател 1/2. Същият прогресия формата и областта на триъгълници, получена при всеки етап на строителството, и сума е равна на площта на оригиналния квадрат.